Jak vydělat nekonečné množství peněz (a dalších věcí, které může statistika prokázat)

The Coffee + Math Series

To je Jack

Toto je naše druhá splátka řady Coffee + Math. Je to jednoduché - máme kávu a povídáme si o našich oblíbených matematických rovnicích, matematických faktech a matematických úsecích. Co víc byste mohli chtít?

Tento týden jsme měli (mandlové mléko) kávu s Jackem Freestoneem, rezidentním matematikem Mathspace a uni studentem (specializací na pokročilou matematiku).

Káva volby?

Mandle s mandlovým mlékem.

Opravdu? Mandlové mléko?

Dejte mi pauzu.

Jaká je vaše oblíbená oblast matematiky?

Rozhodně statistika a teorie pravděpodobnosti.

Můžeš nám dát příklad?

Vlastně mám docela dobrý příklad! Dokážu použít nějakou teorii pravděpodobnosti, abych ukázal, že v hazardní hře je možné vydělat nekonečné množství peněz.

Hm, ahoj! Na co čekáš?

Existuje koncept známý jako Gambler's Ruin Problem, který to může ukázat.

Představte si, že máte $ n a rozhodnete se hrát hru, kde každé kolo má šanci, že vyděláte $ 1 s pravděpodobností (p) nebo že ztratíte $ 1 s pravděpodobností (q).

Nyní po jednom nebo dvou kolech se výdělky zdají být docela štíhlé, ale co je super, je to, že můžete být nekonečně bohatí. Je to možné, pokud hrajete na neurčitý počet kol a šance na výhru jsou alespoň nepatrně ve váš prospěch.

Můžete nám poskytnout podrobný rozpis?

Tak určitě. Řekněme, že s vaším $ n budete pokračovat v hraní, dokud nedosáhnete $ N nebo dokud se nakonec nerozbijete 0 $.

Je to arkádová hra napravo? Nepotřeboval jsem důvod trávit nekonečné množství času na jednu z těchto věcí, ale teď jednu mám!

V tomto případě lze pravděpodobnost, že dosáhnete $ N od $ n, vyjádřit takto:

Levá strana je pravděpodobnost dosažení $ N počínaje $ n. Pravá strana se promítá do „pravděpodobnosti, že vyhrajete první kolo a poté dosáhnete $ N začínající $ n + 1 NEBO že ztratíte první kolo a dosáhnete $ n nyní začínající $ n - 1. “

UPOZORNĚNÍ: Tento prostor titulků musíme použít k poskytnutí skutečných informací, místo aby se bavilo o Jacka! Graf (1): Vaše celkové bohatství poté, co vyhrál první kolo a nakonec dosáhl $ N podél jedné konkrétní cesty. Graf (2): Vaše celkové bohatství poté, co prohrál první kolo a nakonec dosáhl $ N podél jiné konkrétní cesty.

Nyní, protože p + q = 1, výše uvedená rovnice se stává:

Po nějakém přestavení:

A s nějakou rekurzivní substitucí:

Protože pravděpodobnost dosažení $ N počínaje 0 $ je nula:

Tuto rovnici nazveme (1).

Kromě toho můžeme učinit dvě prohlášení o pravděpodobnosti dosažení $ N, nyní od $ N:

Páni - prohlášení (1) je mnohem jednodušší než prohlášení (2)!

První výrok říká, že pravděpodobnost dosažení $ N počínaje $ N je 1.

Druhý příkaz používá zrušení po sobě jdoucích podmínek (s výjimkou prvního a posledního) k přepsání pravděpodobnosti dosažení $ N počínaje $ N.

Nahrazující rovnice (1) ve druhém příkazu dostaneme:

A s určitým uspořádáním:

Tuto rovnici nazveme (2)

Pomocí výše uvedených postupů můžeme dosáhnout následující rovnice:

A nahrazením rovnice (2) dostaneme:

Nyní předpokládejme, že každé kolo je mírně ve váš prospěch, tj. P> q.

To je hodně kol, Jacku!

První výrok ve výše uvedeném diagramu používá skutečnost, že čitatel a jmenovatel je pouze geometrický součet.

Druhé tvrzení umožňuje $ N přiblížit se k nekonečnému množství bohatství, v tomto případě se jmenovatel stává 1.

Konečný výsledek ukazuje pozitivní pravděpodobnost pravděpodobnosti, že budete postupně vydělávat nekonečné bohatství počínaje $ n.

Chcete-li osvětlit tento výsledek, zvažte váhovou nevyváženost mince. Navrhuje se, že existuje 51% šance na přistání mincí na straně, která směřuje vzhůru, než se převrátí. Řekněme, že vstoupíte do hry začínající na 100 $, kde každé kolo je házení mincí. Stejně jako dříve, pokud uhodnete výsledek házení správně, vyděláte 1 $ a pokud ne, prohrajete 1 $. Pokud si v každém kole vyberete stranu, na kterou se díváte, než se hodí, vaše šance na vydělávání nekonečného množství peněz (pokud můžete žít tak dlouho) je více než 98%.

Takže je to v zásadě možné, ale museli byste žít věčně?

Docela dost!

Proč jiného vás zajímá statistika a pravděpodobnost (kromě vymýšlení, jak vydělat nekonečné množství peněz)?

Mezi mnoha vtipy ve třídě a tangenty ve škole byli moji učitelé, kteří vzbudili moji počáteční lásku k matematice i angličtině. Mé zájmy v obou předmětech pokračovaly na univerzitu, přičemž většina mých jednotek byla třída statistiky, do které byla vhozena jednotka divných umění. Mnoho lidí si myslí, že obě disciplíny (matematika a angličtina) jsou ve vzájemném rozporu, ale nesouhlasím.

Logické procesy zahrnující jazyk a numerické příkazy jsou těsněji propojeny, než si myslíte. Statistika je v mnoha ohledech místem, kde se setkávají „imaginativní svět angličtiny“ a „faktický svět matematiky“.

Statistika pracuje velmi matematickým způsobem (s její notací a důslednou derivací), ale pod ní leží velké množství kreativity a fantazie.

Ginlerův problém zříceniny zahrnuje nějakou kreativní algebru a pravděpodobnostní pochopení světa. Dlouhé matematické rovnice použité výše jsou jednoduše způsobem, jak tyto myšlenky představit.

Zajímavostí ve výsledcích statistik je to, že často mohou jít proti našemu „instinktu střev“. Mohou nás šokovat a povzbudit nás, abychom se ponořili hlouběji do toho, co znamenají. Je to jako překvapivé spiknutí v dobře napsaném románu!

Stále mě překvapuje výsledek Gamblerova ruinového problému, ale ve světle jeho odvození a dalšího myšlení jsem potěšen jeho správností a pocitem, jako bych získal hlubší pochopení toho, jak svět funguje.

Proč je oblast pravděpodobnosti a statistiky tak důležitá?

Žijeme v časech založených na datech a lidé si opravdu začínají uvědomovat důležitost pravděpodobnosti a statistiky.

Pravděpodobnost a statistika vedly k mnoha objevům a inovacím, které umožnily tvůrcům politik, obchodníkům a pedagogům činit rozhodnutí na základě dat. Hraje také důležitou roli v disciplinárních oborech, které nejsou okamžitě považovány za matematicky orientované, jako je psychologie, biologie, antropologie a epidemiologie.

V každodenním životě se často setkáváme se statistikami, aniž bychom si to uvědomovali. Například řekněme, že jste stokrát převrátili férovou minci, a pokaždé to dopadlo na hlavy. Okamžitá reakce pro některé je, že v příštím házení určitě nepřistane na hlavách. A přesto ano. Je to proto, že mince nemá žádnou paměť, že dříve přistávala na hlavách stokrát, a vaše šance stále zůstávají stejné, asi 50/50.

Můžete nám říci o historii statistiky a teorie pravděpodobnosti?

Ačkoli statistika nebyla formálně vyvinuta až do 17. století, mnoho nevědomky ji používalo dlouho předtím.

Al-Kindi byl filozofem a matematikem, který v 9. století napsal knihu s názvem Rukopis dešifrovacích kryptografických zpráv. Vysvětlil, že zašifrovaná zpráva napsaná v určitém jazyce může být dešifrována odkazem na frekvenční distribuci písmen, která se objevují v tomto jazyce.

Existuje několik nástrojů pro vytváření vlastních šifrovaných zpráv pomocí stejného nápadu jako výše.

Historie teorie pravděpodobnosti pramení z her zahrnujících náhody. Pozoruhodný příklad se nazývá Problém bodů. Řešení problému mohou být akreditována pro Blaise Pascala a Pierra de Fermata během 17. století.

Problém se ptá, jak lze rozdělit sázky hry mezi dva hráče, pokud byla hra přerušena v určitém kole? Několik matematiků navrhlo řešení, nejspravedlivější způsob rozdělení bohatství pro hráče 1 a hráče 2 je v poměru:

Kde r a s je počet úspěšných kol, které hráč 1 a hráč 2 potřebují, aby vyhráli.

Levá strana poměru zachycuje všechny způsoby, jak může hráč 2 vyhrát pouze 0 kol + 1 kolo + 2 kola a tak dále až s - 1 kola. V kterémkoli z těchto případů vyhraje hráč 1. Pravá strana, symetricky, má podobný výsledek pro hráče 2.

Využití diskrétní kombinatoriky a pojmu náhody motivovalo pole teorie pravděpodobnosti.

Ještě něco zajímavého přidat?

Co se mi na statistice a pravděpodobnosti líbí, je to, že se jedná o přístupný obor studia. Je to proto, že se do značné míry spoléhá na intuici a koncepční myšlení, na rozdíl od zdlouhavých rovnic a nezbytných znalostí.

Vytáhl jsem některé z mých „nejlepších čtení“ níže pro kohokoli, kdo se chce dozvědět více o poli.

Bayesova věta

Řekněme, že jste s nemocí pozitivně diagnostikovali. Jaká je šance, že to vlastně budete mít? Bayes má odpověď a výsledky nemusí být důvodem k obavám, jak si možná myslíte!

Averze k rizikům a ztrátám

Jak můžeme posoudit váš přístup k riziku? Pojďme se vsadit. Pokud vám tato mince dopadne na hlavu, dám vám 12 $. Pokud to dopadne na ocasy, dáte mi 10 $. Nechcete sázet? Co kdybychom hráli 100krát? Změní to vaši odpověď?

Scénář Davida Aldousa za přednášku na Cornell University v roce 2004.

David Aldous otevírá několik zajímavých bodů o teorii pravděpodobnosti a diskutuje o psychice jednotlivců ao mylných představách o shodě náhod.

Chcete si přečíst více ze série Coffee + Math? Podívejte se na tento rozhovor, který je o matematice tekutin a Navier-Stokesově rovnici.